硬核科普丨从魔方中可以学到哪些数学知识?

硬核科普丨从魔方中可以学到哪些数学知识?

前言:玩魔方的过程中,我和大家一样,收获了复原的乐趣,破pb的兴奋,收获了许许多多志同道合的朋友……除此之外我从魔方中,学到了知识。
魔方千变万化,其中必然存在着许许多多的科学原理,相信大家在玩魔方的过程中深有体会,比如魔方的变化数等常识被大家所熟知,但是为什么是这样?那在这些看似简单的多面体中蕴含的道理,大家又思考过多少呢?
本文主要针对魔方中的数学知识,分群论和几何两部分做一些普及。文章较长,希望大家耐心看完。

第一部分——几何篇    

       
本部分讲解几种魔方中的几何知识。魔方大多是正多面体,在这里必须引入一个公式:欧拉(多面体)公式,即面数+顶点数=棱数+2
由此公式可以推出正多面体仅有五种:正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体,下文按此顺序讲解,还会有一些不是正多面体的。
正四面体(对应魔方:金字塔魔方):

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它有四个等边三角形面,四个顶点,六条棱,刚好符合欧拉公式:4+4=6+2。

思考这样一个问题:它的中心把高分成了几比几的两部分呢?或许你会不假思索,答道:1:1,因为中心吗,应当在正中间。可是你从上图铃塔的空穴向里看,很显然不是1:1。其实,答案是3:1。解释这个答案之前,应该先思考一下等边三角形的特点。试着画出等边三角形三条中线,各取中点,你会发现这三点不重合,而且均不位于中心处。所以等边三角形的中心也没有把高分成了1:1。而是2:1,这个很容易证明。
回到正四面体中心的问题,可以做出内切圆和外接圆,如图

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设正四面体的高为h,每个面的面积是S
那么,h=R+r
另外正四面体的体积
V=Sh/3
V=4(Sr/3),[4个小三棱锥体积和]
从而h=4r,
R=3r
r:R=1:3
关于正四面体的第二个问题,面夹角是多少,不要误认为是60。

首先,两个面之间夹角的定义要先弄清楚.不是你看到的边缘的角度,是垂直于两面交线并分别在两个面内的直线的夹角.对于正4面体来说,就是两个相邻正三角形的高的夹角。

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可用余弦定理求得arccos1/3约等于70.53度


同理,正四面体侧棱与底面的夹角也不是60度,
正四面体P-ABC

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设P在底面射影为O.则O为底面ABC的中心
连接PO .连接AO并延长交BC与D.则AD为BC边上的高
角PAO为棱与底面夹角
设棱长为a
AD=asin60=√3a/2
以AO为重心.分AD为2:1
所以AO=2/3 AD=√3a/3
cosPAO=AO/PA=√3/3
所以PAO=arccos√3/3约等于54.7度
大家有没有想过两条中心到顶点的连线之间的夹角是多少呢?是109度28分。

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证明:

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后面会说的相对简略。
正六面体(对应魔方:正阶(如三阶四阶等))

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没什么好说的,简单提一下,面对角线的长度是棱长的根二倍
体对角线长度为棱长的根三倍。利用勾股定理,证明:

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在Rt△ADB中,BD=根2AB。
在Rt△BDD1中,BD1的平方=BD的平方+DD1的平方
所以BD1=根3 AB


正八面体(魔方),比较少见,只放图

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正十二面体(对应魔方:五魔)

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12个正五边形所组成的正多面体,它共有20个顶点、30条棱、160条对角线,  

欧拉公式:  12+20=30+2

正二十面体(魔方)

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是由20个等边三角形所组成的正多面体,共有12个顶点,30条棱,20个面

欧拉公式:20+12=30+2

足球魔方

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像足球一样的32面体,包括20个六边形,12个五边形。60个顶点,90条棱

欧拉公式32+60=90+2
可以看作正二十面体截角而来,故又称截角二十面体

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富勒烯C60的分子结构就是这个样子,在结构化学中有着重要意义。
截角六面体(对应魔方:斜转魔方)
截角六面体指的是斜转魔方去掉角块的结构。

放个截角六面体的图

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截角六面体在晶体学上一般称为立方八面体,它具有八个正三角形面,六个正方形面
立方体欧拉公式:6+8=12+2
八面体欧拉公式:8+6=12+2
立方八面体:14+12=24+2,刚好符合立方体和八面体各个元素的加和。
几何篇讲到这里,希望大家有所收获。

第二部分——群论篇


讲一下魔方中的群论思想。首先,大家了解比较多的排列组合问题。众所周知,三阶魔方的总变化数是4.32乘10的19次方。计算方法如下:
首先,我们对三阶魔方要有基本的认识:
1、每2个角块无法单独互换;
2、每2个棱块无法单独互换;
3、每1个角块无法单独换色;
4、每1个棱块无法单独换色。(限于篇幅,证明略)
(8!x38x12!x212)/(2x2x3)=43252003274489856000
n阶魔方计算:
原理如下:
一个N阶魔方有8个角块,6(N-2)^2个中心块,12(N-2)个角块。
当N为奇数时:
固定中心,8个角块共有8!*3^7种情况,12个中棱共有12!*2^11种情况,角和棱奇偶性应当相同,故要再除以2;
剩余12(N-3)个棱块,每24个棱块为同族,没有色向,共(24!)^[(N-3)/2]种情况;
剩余6[(N-2)^2-1]个中心块,每24个中心块为一族,但每四个相同颜色的中心块不可区分,共[24!/(4!)^6]^{[(N-2)^2-1]/4}种情况。
总共8!*3^7*12!*2^10*(24!)^[(N-3)(N+1)/4]/24^[3*(N-3)(N-1)/2]
当N为偶数时,可以固定一个角块考虑,剩余7个角块共有7!*3^6个状态;12(N-2)个棱块有(24!)^[(N-2)/2]个状态;6(N-2)^2个中心块有[24!/(4!)^6]^[(N-2)^2/4]个状态。共有7!*3^6*(24!)^[(N-2)N/4]/24^[3(N-2)^2/2]个状态。
比如五阶魔方,讲解之前先放图解释一下待会出现的名词意思。

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黄色标记为角块,绿色标记为中棱块,黑色为边棱块,紫色为斜中心,粉色为直中心。

n=5,则角块和中棱块(视为三阶魔方)变化8!×3^8×12!×2^12 / (3×2×2)
是8个角块和12个中棱块的变化数,就是三阶魔方的变化数。
边棱块变化(24!×2^12) / 2^12 (=24!)
是24个边棱块的位置变化数,边棱块只有位置变化,没有色向变化(即不可能就地翻转,这与中棱块很不同!)。
中心变化就是(24! / 4!^6)^2
中心块四周有四个直心块和四个斜心块,6个面总共有24个直心块和24个斜心块。
24个直心块的位置变化数为24!,但是每四个同色的直心块是一样的,比如,4个红色直心块的位置变化数4!只能算一个,所以要除以4!。六种颜色的直心块就要除以4!^6,即(24! / 4!^6)。
对于24个斜心块,变化数也是(24! / 4!^6)。
两者的乘积就是(24! / 4!^6)^2 。
曾经传出“修正”版本误传为2.3亿亿,这是错误的。
“修正”说:
“1、对8个角块而言,每两个不能单独互换,数学表达应该是(8-1)!
2、对12个棱块而言,每两个不能单独互换,数学表达应该是(12-1)!”
错了。角块和棱块的位置有无变化以及什么样的变化,都是相对于不动的参照物中心块组而言的。然而,对于角块,它说的(8-1)!就意味着它是选了某个角块为不动的参照物,可以有位置变化的只有7个角块了。接下来,对于棱块,它又选了某个棱块为参照物,棱块的位置变化数就是(12-1)!了。
同一体系中统计变化数时,参照物有变,不就添乱了吗。

群论思想不止可以解决变化数问题,在oll. pll的情况,公式推导中发挥着重要作用
以pll的21种情况为例
21种情况不是等概率的。21种PLL情况中,有15种概率为1/18, 有2种概率为1/36, 有3种概率为1/72, 总共是15*(1/18)+2*(1/36)+3*(1/72)=71/72, 再加上顶层顺序直接对好的情况(概率为1/72),总概率为1。
在科学领域,群论思想的应用非常广泛。晶体学家费多洛夫和德国晶体学家薛弗利斯利用群论思想推导出了230中空间群。在晶体学(化学范畴)和固体物理学中具有重要意义。
魔方中的知识真的很多很多,我只讲了冰山一角,我们要有探索的精神,多思考一下魔方的奥妙。

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