高二数学不等式的基本性质与不等式的解法

高二数学不等式的基本性质与不等式的解法

什么叫做不等式

用不等号将两个整式连结起来所成的式子。

不等式基本性质

①如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;(对称性)

②如果x>y,y>z;那么x>z;(传递性)

③如果x>y,而z为任意实数或整式,那么x+z>y+z;(加法原则,或叫同向不等式可加性)

④ 如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(乘法原则)

⑤如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z<y÷z;

⑥如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要条件)

⑦如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;

⑧如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数),x的n次幂<y的n次幂(n为负数)

或者说,不等式的基本性质有:

①对称性;

②传递性:

③加法单调性:即同向不等式可加性:

④乘法单调性:

⑤同向正值不等式可乘性:

⑥正值不等式可乘方:

⑦正值不等式可开方:

⑧倒数法则。

如果由不等式的基本性质出发,通过逻辑推理,可以论证大量的初等不等式,以上是其中比较有名的。

不等式性质与等式性质的异同点

相同点:等式或不等式的两边同时加上(或减去)同一个数,等式或不等式仍然成立。

不相同点:等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0 的数,等式仍然成立。

不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等式仍然成立。

不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等式改变方向。

不等式的解法:

(1)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对 进行讨论:

(2)绝对值不等式:若 ,则 ; ;

注意:

(1)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有:

⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;

(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。

(3).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

(4)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式;

(5)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这个不等式组的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分。

(6)解含有参数的不等式:

解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论:

①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△),比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数,要讨论。

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